Основные понятия об электрической цепи - страница 3


 
^ Глава 2
Электрические цепи однофазного синусоидального тока.
2.1. Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины.

Синусоидальным током называют ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (рис. 2.1):



 

Ток i(t) называют мгновенным. Максимальное значение тока называют амплитудой и обозначают . Период – это время, за которое совершается одно полное колебание. Частота равна числу колебаний в секунду , единица частоты - герц (Гц).

Угловая частота , единица угловой частоты рад/с или . Аргумент синуса, т.е. , называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания в данный момент времени .

Начальная фаза тока - .

Любая синусоидальная функция характеризуется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.

Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот, до нескольких килогерц, получают с помощью синхронных генераторов (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых и полупроводниковых генераторов, подробно рассматриваемых в разделе – электроника.

^ 2.2. Среднее и действующее значение синусоидальных тока и ЭДС.

Принято среднее значение функции времени определять за период





Для синусоидальной функции среднее значение за период равно нулю.

^ Используется также понятие среднего значения синусоидальной функции за полпериода:

.

Аналогично, среднее значение ЭДС за полпериода .

Действующим значением синусоидальной функции называется ее среднеквадратичное значение за период







Большинство измерительных приборов амперметров и вольтметров показывают действующее значение измеряемой величины.
^   2.3. Сложение синусоидальных функций времени. Векторные диаграммы. Основы символического метода расчета.
 

Пусть требуется сложить два тока:

;

(1)

 

Тригонометрическому уравнению (1) можно дать геометрическую интерпретацию, если каждому синусоидальному значению поставить в соответствие вектор на плоскости в координатах , рис. 2.2а. Длиной вектора будет амплитуда тока, а фазой – начальная фаза синусоиды . Совокупность векторов, соответствующая уравнениям для токов или напряжений, называется векторной диаграммой.

^ Уравнению (1) можно поставить в соответствие другое уравнение, в котором каждая синусоида будет представлена в виде комплексного числа.

Ток можно записать по формуле Эйлера:

(2)

 

^ С учетом (2) уравнение (1) примет вид:
(3)

 

 

Уравнение (3) содержит два типа комплексных чисел:

Прямые:

и сопряженные:

и может быть записано для каждой группы в отдельности, например,

(4)

Исключая общие множители и , получим:

(5)
или

Комплексное число называется током в комплексной форме или комплексом тока по максимальному значению. Здесь - модуль комплекса по максимальному значению, а - фаза комплекса.

Если за модуль комплекса принять не амплитудное, а действующее значение, то получим комплекс по действующим значениям или просто комплекс тока.

^ Уравнение (5) для комплексов тока примет вид:

или (6)

Геометрическая интерпретация уравнения (6) на комплексной плоскости приведена на рис. 2.2б. Это так называемая комплексная векторная диаграмма является с учетом масштаба точным аналогом векторной диаграммы, приведенной на рис. 2.2a.

Комплекс тока называют символом мгновенного тока , а метод составления уравнений в комплексной форме – комплексным или символическим.

Забегая вперед, отметим, что расчет цепей комплексным методом имеет значительные преимущества перед методом расчета по мгновенным значениям.
^ 2.4. Пассивные элементы электрической цепи.
Резистор , индуктивность и емкость являются пассивными элементами электрической цепи. Резистор или активное сопротивление цепи – это элемент, в котором происходит рассеивание энергии в виде тепла или превращение электрической энергии в другой вид энергии: в световую, химическую или механическую.

Индуктивность и емкость называются реактивными элементами цепи, в них происходят накапливание энергии в виде магнитного или электрического поля. Рассеивание энергии в таких элементах отсутствует. Идеальные элементы , , на схеме обозначаются так, как это показано на рис. 2.3а.

Реальные катушки индуктивности и конденсаторы рассеивают часть энергии. Этот факт учитывается с помощью добавочных сопротивлений для катушки и для конденсаторов, рис. 2.3б. В проволочных сопротивлениях и катушках индуктивности учитывают также межвитковую емкость , рис. 2.3б; в реальном конденсаторе можно учесть паразитную индуктивность подводящих контактов , рис. 2.3б.

Рассматривая пассивные элементы цепи , , ответим на следующие вопросы:

^ 1. Каково соотношение между мгновенным значением тока и напряжения на каждом элементе? Каков вид векторов тока и напряжения?

2. Каковы мгновенная мощность и накопленная энергия магнитного или электрического полей?

^ 3. Каково соотношение тока и напряжения на элементе в комплексной форме, как изображаются вектора тока и напряжения на комплексной плоскости.

Под мгновенным значением мощности понимают произведение мгновенного значения напряжения на элементе цепи на мгновенное значение протекающего по элементу тока :

.
^ 2.5. Резистивный элемент.
2.5.1. Пусть ток в резисторе:

.

Мгновенное значение напряжения на резисторе:



Векторы тока и напряжения на резисторе приведены на рис. 2.4б. Закон Ома для резистора имеет вид:

или .

^ 2.5.2. Мгновенная мощность равна:



 

Временные диаграммы , , приведены на рис. 2.4в. Мощность имеет постоянную составляющую или среднее значение, называемое активной мощностью :


Активная мощность измеряется в ваттах (Вт).

 

2.5.3. В комплексной форме напряжение на резисторе записывается в виде


Векторы тока и напряжения на комплексной плоскости приведены

на рис. 2.4г.
^   2.6. Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока.
 

Индуктивный элемент учитывает явления накапливания энергии магнитного поля и характеризуется зависимостью потокосцепления от тока :

, измеряется в генри (Гн).

 

^ 2.6.1. Мгновенное значение напряжения на индуктивности:


Здесь - ЭДС, наводимая изменяющимся во времени магнитным потоком.

Если принять ток в катушке , то напряжение запишется в виде:
.

 

 

Векторы тока и напряжения показаны на рис. 2.5б. Напряжение опережает ток в катушке на угол . Закон Ома для индуктивности:

или ,

где - индуктивное сопротивление катушки, измеряется в Омах (Ом). Сопротивление - частотно зависимая величина, увеличивается с ростом частоты, рис. 2.5в.

 

^ 2.6.2. Мгновенная мощность:


 

 

Мощность называется реактивной и измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр). Временные диаграммы , и для катушки приведены на рис. 2.5г. Средняя мощность равна нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия магнитного поля катушки равна:

 

 

Временная диаграмма , приведена на рис. 2.5д. Максимальная энергия магнитного поля катушки:
.

 

^ 2.6.3. Напряжение на индуктивности в комплексной форме.

 

Так как напряжение на катушке:


то

Здесь - индуктивное сопротивление в комплексной форме.

Оператор отражает дифференцирование тока в формуле напряжения на индуктивности.

^ Закон Ома в комплексной форме:

или

 

Вектора тока и напряжения на комплексной плоскости приведены

на рис. 2.5е.

 
^ 2.7. Емкостный элемент в цепи синусоидального тока.
 

Емкость отражает явление накапливания энергии электрического поля и характеризуется зависимостью заряда от напряжения :

 

^ 2.7.1. Мгновенное значение напряжения на конденсаторе:



Пусть , тогда напряжение на конденсаторе:

Это напряжение отстает от тока на угол .

 

Векторы тока и напряжения приведены на рис. 2.6б.

Закон Ома для емкости:

или ,

где - емкостное сопротивление, измеряется в омах (Ом).

Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты. Зависимость от частоты приведена на рис. 2.6.в.

 

^ 2.7.2. Мгновенная мощность на конденсаторе:



 

– реактивная мощность конденсатора. Временные диаграммы , , приведены на рис. 2.6г.

Среднее значение мощности равно нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия электрического поля в конденсаторе равна:



 

 

 

 

 

График приведен на рис. 2.6д.

Максимальная энергия электрического поля равна:



 

^ 2.7.3. Напряжение на емкости в комплексной форме.

 

Так как

,

То

.

Здесь - емкостное сопротивление в комплексной форме.

Оператор отражает интегрирование тока в формуле напряжения на емкости.

Закон Ома в комплексной форме или . Векторы и приведены на рис. 2.6е.

 
2.8. Последовательное соединение элементов , , .
 

Для схемы рис. 2.7 уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем в виде:

(7)

Пусть , тогда:

(8)

 

 

Вектор тока и векторная диаграмма напряжений приведены на рис. 2.8 Векторы напряжений на активном и реактивном элементах ортогональны, а векторы напряжений на и смещены на .

 

^ В комплексной форме уравнение (8) примет вид:

(9)

Здесь

- комплексное сопротивление,

- модуль комплексного сопротивления

- фаза комплексного сопротивления.

На комплексной плоскости сопротивления , , , - образуют треугольник сопротивления, рис. 2.10.

Если сопротивления умножить на , получим диаграмму напряжений, рис. 2.9.

Сравнивания уравнения (8) и (9), отметим, что дифференциальные уравнения (8) после замены мгновенных значений их комплексными символами переводится в уравнение алгебраическое (9). Это одно из преимуществ комплексного метода расчета.

Введение понятия комплексного сопротивления, позволяет написать закон Ома для всей цепи в комплексной форме или для модулей комплексов

^ Таким образом, для целей переменного тока можно составлять уравнения, по структуре сходной с уравнениями для цепей постоянного тока.

  В современных условиях контроль за технологическими процессами, потреблением электриче­ской энергии, режимом работы электрооборудования, измерением неэлектрических величин осуще­ствляется с помощью электроизмерительных приборов. Эти приборы измеряют ток, напряжение, мощность, cos(j), частоту, электрическую энергию и т.д.

 

2.9 Параллельные соединения элементов , , .

 

Для схемы рис. 2.11 составим уравнение по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений:

(10)

Если , то

(11)

 

 

 

 

Здесь

- активная проводимость,

- индуктивная проводимость,

- емкостная проводимость.

Единица измерения проводимостей - сименс (Сим).

Векторная диаграмма токов приведена на рис. 2.12.

 

Уравнение (11) в комплексной форме:

(12)

Здесь

- комплексная проводимость или комплекс проводимости,

- модуль комплекса проводимости

- фаза комплекса проводимости.

Проводимости образуют треугольник проводимости, рис. 2.13.

 

Комплексная векторная диаграмма токов для уравнения (12) приведена на рис. 2.14.

 

Пример 1.

Для схемы, приведенной на рис. 2.15.

Задано:

,

, , ,

, , Определить токи.

Решение.

Воспользуемся комплексным методом расчета. Запишем комплексы сопротивлений для каждой ветви:



,

.

 

Входное сопротивление цепи:



 

 

Входной ток:

.

Определим токи и





 

 

Мгновенные значения токов запишем в виде:







 

Пример 2.

 

Для схемы рис. 2.11 определить сдвиг по фазе между входным током и напряжением, если , , , .

Решение:

комплекс тока:



Фаза напряжения принята за ноль, а фаза тока получилась равной . Сдвиг по фазе между током и напряжением .

 

^ 2.9.1. Мощность в цепи синусоидального тока. Комплексная мощность.

 

Пусть в цепи рис. 2.7 ток равен . Мгновенное напряжение будет сдвинуто по отношению к току на угол , отличный от и .Мгновенная мощность для этой цепи примет вид:

(13)

 

 

 

Выразим сопротивления и через модуль сопротивления :

, , (14)

Подставим (14) в (13), получим



 


Временные диаграммы , , приведены на рис. 2.16.

Мощность имеет постоянную составляющую, т.е. среднюю мощность, или активную мощность:



 

и переменную составляющую. Амплитуда переменной составляющей называется полной мощностью, измеряется в вольт-амперах, .

Мощности и связаны по закону треугольника мощностей, рис. 2.17.

Третья составляющая в этом треугольнике – мощность реактивная .

Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных, (). Полезная мощность измеряется ваттметром.

 

Пример.

График мгновенной мощности приведен на рис. 2.19.

Максимальное и минимальное значения мощности соответственно равны и . Определить полную активную и реактивную мощности цепи.

Решение:

Размах значений мощности , амплитудное значение , это полная мощность . Среднее значение мощности . Реактивная мощность .

Отношение активной мощности к полной (рис. 2.17) равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности



 

Для лучшего соотношения между мощностью электрической машины и других приборов и их габаритными размерами коэффициент мощности стремятся сделать максимально возможным.

^ Высокий коэффициент мощности желателен для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям.

Чтобы выразить мощность через комплексы токов и напряжений воспользуемся следующим соображением.

Пусть заданы комплексы и .

Активная мощность должна быть равна , где .

Отсюда следует, что при определении комплекса мощности фаза тока должна быть взята с обратным знаком, т.е. комплекс тока должен быть заменен на сопряженный.

Полная комплексная мощность



 

 

^ 2.10. Законы Кирхгофа и уравнение энергетического баланса в комплексной форме.

 

Первый закон Кирхгофа:



 

Второй закон Кирхгофа:



 

^ Уравнение энергетического баланса:

.

.

.

 

^ 2.11. Резонанс в цепях синусоидального тока.

 

Реактивные сопротивления и проводимость являются частотно-зависимыми величинами. Следовательно, при последовательном или параллельном соединении элементов и возможна на какой-то частоте полная компенсация реактивных сопротивлений или проводимостей. Режим, при котором наступает компенсация, называют резонансом. При резонансе входное сопротивление цепи становится активным, входное напряжение совпадает по фазе с входным током, а полная мощность будет активной. Угловая частота, , при которой наступает резонанс, называется резонансной или собственной угловой частотой цепи. Различают две разновидности резонанса: резонанс напряжений и резонанс токов.

 

^ 2.11.1. Резонанс напряжений.

 

Может возникнуть в цепи с последовательным соединением и , рис. 2.20а.

Для этой цепи запишем:

.

Условие резонанса:

или ,

откуда резонансная частота .

 

 

Настройку цепи в резонанс, изменение параметров цепи при частотах, отличных от резонансной можно увидеть, если построить частотные характеристики сопротивлений, тока в цепи и напряжений на ,,.

На рис. 2.20б,в,г приведены частотные характеристики реактивных сопротивлений и ,

суммарного реактивного сопротивления,

модуля полного сопротивления , модуля входного тока , а также амплитудно-частотные характеристики напряжений:

,

,

.

 

 

По графику определена резонансная частота , по графику можно увидеть, что сопротивление цепи при резонансе минимально и равно активному сопротивлению, по графику - что ток в цепи при резонансе максимален. Графики , , имеют ярко выраженный избирательный характер, т.е. имеют максимальные значения на резонансной частоте или вблизи нее. Можно также отметить, что напряжения и при резонансе могут превышать значение входного напряжения. Это хорошо иллюстрируется с помощью векторных диаграмм напряжения приведенных на рис. 2.20д,е,ж при частотах , и .Обратите также внимание на значения угла на этих частотах и сопоставьте эти значения с характером реактивных сопротивлений на соответствующих частотах. Так при частотах , реактивное сопротивление носит емкостной характер и и т.д.

 

^ 2.11.2. Резонанс токов.

 

Возможен в цепях с параллельным соединением и элементов, рис. 2.21а.

Для этой цепи запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:



 

 

Компенсация реактивных проводимостей и реактивных токов:

,

произойдет на резонансной частоте

 

Для анализа явления резонанса токов построим частотные характеристики реактивных проводимостей рис. 2.21б, модуля полной проводимости , рис. 2.21в, модуля полного тока , рис. 2.21г.

 

Здесь отмечена резонансная частота, полная проводимость цепи при резонансе минимальна и полный ток минимален. Векторные диаграммы токов, построенные для частот , , , рис. 2.21д,е,ж, позволяют убедиться, что токи в катушке и конденсаторе могут значительно превышать полный ток.

 

^ 2.12. Резонанс напряжений и токов в разветвленных цепях.

 

Мы рассмотрели резонанс в последовательном и параллельном контурах с идеальными элементами и . Рассмотрим другие более сложные примеры. Для цепи рис. 2.22 запишем условие резонанса, определим резонансную частоту и ток в цепи.

 

Входные сопротивления цепи:



 

 

 

 

^ Выделим действительные и мнимые части сопротивлений:



 

 

 

Компенсация реактивных сопротивлений произойдет на частоте :



 

 

 

^ Входное сопротивление при резонансе минимально и равно:



Входной ток при резонансе максимален и равен .

 

Для цепи, приведенной на рис. 2.23, возможен резонанс токов. Запишем входную проводимость цепи



 

 

 

Выделим действительные и мнимые части проводимостей:



 

 

 

 

Условие резонанса:



 

 

Входной ток:



 

 

В разветвленных цепях с и возможны несколько резонансов. Так в цепи рис. 2.24 возможны и резонанс токов в ветвях , и резонанс напряжений для всей цепи.

 

Пример.

Цепь, рис. 2.25 настроена в резонанс. Определить и , если задано:

, ,, .

Решение:

Входное сопротивление цепи равно:



 

^ Условие резонанса напряжений:



Решая квадратное уравнение относительно , получим.

^ Ток при резонансе равен:



 

5679379382956689.html
5679523757824055.html
5679636763081586.html
5679815994474299.html
5679888725820446.html